Question

12．已知函數(shù)f（x）=2ax²+4x-3-a，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x²+4x-4，分析x∈[-1，1]時(shí)的單調(diào)性，可得函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）如果函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x²+4x-4
=2（x+1）²-6．
因?yàn)閤∈[-1，1]時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
所以x=1時(shí)，f（x）取最大值f（1）=2．
（2）∵如果函數(shù)f（x）在R上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\△＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a≠0\\ 16+8a（a+3）＞0\end{array}\right.$
∴a＜-2或-1＜a＜0或a＞0，
∴a的取值范圍是（-∞，-2）∪（-1，0）∪（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．