Question

設k∈R，函數(shù)f(x)＝F(x)＝f(x)＋kx，x∈R.

(1)k＝1時，求F(x)的值域；

(2)試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性．

Answer 1

　(1)k＝1時，F(x)＝f(x)＋x＝

可以證明F(x)在(0,1)上遞減，在(1，＋∞)和(－∞，0]上遞增，

又f(0)＝1，f(1)＝2，所以F(x)的值域為(－∞，1]∪[2，＋∞)．

(2)F(x)＝f(x)＋kx＝

若k＝0，則F(x)在(0，＋∞)上遞減，在(－∞，0)上遞增；

若k>0，則F(x)在(0，]上遞減，在(，＋∞)上遞增，在(－∞，0)上遞增．

若k<0，則F(x)在(0，＋∞)上遞減．

當x≤0時，F′(x)＝e^x＋k，若F′(x)>0，

則x>ln(－k)，若F′(x)<0，則x<ln(－k)．

若k≤－1，－k≥1，則F(x)在(－∞，0]上遞減，

若－1<k<0,0<－k<1，則F(x)在(－∞，ln(－k))上遞減，在(ln(－k)，0)上遞增.