Question

5．若雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線過曲線y=x²-4x+1的最低點(diǎn)，則該雙曲線的離心率e的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{13}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{2}$

Answer 1

分析 求得二次函數(shù)的最小值，可得曲線的最低點(diǎn)（2，-3），代入漸近線方程，可得a，b的關(guān)系式，由離心率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
當(dāng)x=2時(shí)，y的最小值為-3，
即曲線的最低點(diǎn)為（2，-3），
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得-3=-$\frac{2b}{a}$，
即有b=$\frac{3}{2}$a，c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的最值的求法，考查雙曲線的漸近線方程，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．