Question

6．雙曲線x²-4y²=4的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂，P是雙曲線上的一點(diǎn)，滿足PF₁⊥PF₂，則△F₁PF₂的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)所給的雙曲線的方程，寫出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和焦距，設(shè)PF₁=m，PF₂=n，根據(jù)雙曲線的定義和勾股定理求得mn，由三角形的面積公式S=$\frac{1}{2}$mn，求得△F₁PF₂的面積．

解答 解：∵雙曲線x²-4y²=4，
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$，
∴a=2，b=1，c=$\sqrt{5}$，
設(shè)PF₁=m，PF₂=n，
由雙曲線的定義可知：丨m-n丨=4   ①，
∵PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可知：m²+n²=（2$\sqrt{5}$）²，②
把①平方，然后代入②，求得mn=2，
∴△F₁PF₂的面積為S=$\frac{1}{2}$mn=1，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查根據(jù)勾股定理，雙曲線的定義及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．