Question

19．（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線l：x-y-6=0．
（1）在曲線C上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最大，并求出此最大值；
（2）過點(diǎn)M（-1，0）且與直線l平行的直線l₁交C于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點(diǎn)P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{3}）+6|}{\sqrt{2}}$，利用三角函數(shù)的單調(diào)性與值域即可得出．
（2）曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：${t}^{2}-\sqrt{2}$t-2=0．利用|MA|•|MB|=|t₁t₂|即可的．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)P$（\sqrt{3}cosα，sinα）$，
則點(diǎn)P到直線l的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosα-sinα-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（α-\frac{π}{3}）+6|}{\sqrt{2}}$≤$\frac{8}{\sqrt{2}}$=4$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$sin（α-\frac{π}{3}）$=1時(shí)取等號(hào)，可得α=$\frac{5π}{6}$，可得P$（-\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$．
（2）曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），化為：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1．
設(shè)直線l₁的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得：${t}^{2}-\sqrt{2}$t-2=0．
∴t₁t₂=-2．
∴|MA|•|MB|=|t₁t₂|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用、點(diǎn)到直線的距離公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．