Question

11．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦點分別為F₁，F₂，四個頂點圍成的四邊形面積為4$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設O為坐標原點，過點P（0，1）的動直線與橢圓交于A，B兩點，求證：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=$4\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）當直線AB的斜率不存在，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-3．
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線方程與橢圓方程聯立化為（2k²+1）x²+4kx-2=0，利用根與系數的關系、向量坐標運算性質即可證明．

解答 （1）解：由題意可得：$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{1}{2}×2a×2b$=$4\sqrt{2}$，又a²=b²+c²，解得a=2，b²=2．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）證明：當直線AB的斜率不存在，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=-2-1=-3．
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為（2k²+1）x²+4kx-2=0，
則x₁+x₂=$\frac{-4k}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{-2}{2{k}^{2}+1}$，
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=x₁x₂+y₁y₂+[x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）]=2（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=$\frac{-6{k}^{2}-3}{2{k}^{2}+1}$=-3．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數的關系、向量坐標運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．