Question

【題目】已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）點是棱上一點，且平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先通過計算得，再利用判定定理轉化為線面垂直，從而得到面面垂直；（Ⅱ）首先通過垂直關系的判定正確建立空間直角坐標系找好的坐標，然后將線面平行即平面轉化為線線平行，從而確定平面的法向量，最后根據法向量求出二面角的余弦.

（Ⅰ）證明：等腰梯形中，∽，

所以，又，所以，所以.

所以，所以，即，

又因為，且于點，

所以平面，又因為平面，因此平面平面.

（Ⅱ）連接，由（Ⅰ）知，平面，所以，所以，

所以，即，

如圖以所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，平面的法向量，

因為平面，平面，

平面平面，所以，

設平面的法向量為，則，即，

，令，則，

所以，所以所求二面角的余弦值是.