Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（5x）=2f（x），且當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f（

3

4

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件f（0）=0，且f（x）+f（1-x）=1，得到f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

，f（

3

4

）=1-f（

1

4

），再由條件f（5x）=2f（x），得到f（

1

5

）=

1

2

，由條件當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），得到f（

1

5

）≤f（

1

4

）≤f（

1

2

），從而求出f（

1

4

）=

1

2

，即可得到所求的函數(shù)值．

解答： 解：∵f（0）=0，且f（x）+f（1-x）=1，
∴令x=0，f（0）+f（1）=1，
即f（1）=1，
令x=

1

2

，則f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
即有f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（5x）=2f（x），
∴f（1）=2f（

1

5

），
即f（

1

5

）=

1

2

，
令x=

1

4

，則f（

1

4

）+f（

3

4

）=1，
即f（

3

4

）=1-f（

1

4

），
∵當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴由

1

5

＜

1

4

＜

1

2

，得到f（

1

5

）≤f（

1

4

）≤f（

1

2

），
即

1

2

≤f（

1

4

）≤

1

2

，
∴f（

1

4

）=

1

2

，
∴f（

3

4

）=1-f（

1

4

）=1-

1

2

=

1

2

．
故答案為：

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查推理能力，屬于中檔題．