Question

11．已知雙曲線(xiàn)C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C的右支于A(yíng)，B兩點(diǎn)，如果|AF₁|=3a，|BF₁|=5a，則此雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義得到|BF₂|=a，|BF₂|=3a，從而得到三角形F₁AB是直角三角形，根據(jù)勾股定理建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵|AF₁|=3a，|BF₁|=5a，
∴|AF₁|-|BF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，
則3a-|BF₂|=2a，5a-|BF₂|=2a，
即|BF₂|=a，|BF₂|=3a，
即|AB|=|BF₂|+|BF₂|=a+3a=4a，
則滿(mǎn)足|AF₁|²+|AB|²=|BF₁|²，
則∠F₁AB=90°，
則|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即9a²+a²=4c²，
即10a²=4（a²+b²），
得3a²=2b²，
即$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，即$\frac{a}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x，
故答案為：y=$±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的求解，根據(jù)條件結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義判斷三角形F₁AB是直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．