Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a，a₂=t（常數(shù)t＞0），S_n是其前n項(xiàng)和，且S_n=

n(an-a1)

2

．
（I）試確定數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式；若不是，說(shuō)明理由；
（Ⅱ）令b_n=

Sn+2

Sn+1

+

Sn+1

Sn+2

，證明：2n＜b1+b2+…+bn＜2n+3(n∈N*)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由S_n=

n(an-a1)

2

，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0，可得a=0，Sn=

nan

2

，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1化為（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，當(dāng)n≥3時(shí)，利用“累乘求積”a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a2=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•t．可得數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=（n-1）t．
（II）由（I）可得S_n=

n(n-1)t

2

，可得b_n=

(n+2)(n+1)t

(n+1)nt

+

n(n+1)t

(n+1)(n+2)t

=2+

2

n

-

2

n+2

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： （I）解：∵S_n=

n(an-a1)

2

，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=0，∴a=0．∴Sn=

nan

2

，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

nan

2

-

(n-1)an-1

2

，化為（n-2）a_n=（n-1）a_n-1，
當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a2=

n-1

n-2

•

n-2

n-3

•…•

2

1

•t=（n-1）t．
當(dāng)n=1，2時(shí)滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為a_n=（n-1）t．
（II）證明：由（I）可得S_n=

n(n-1)t

2

，
∴b_n=

(n+2)(n+1)t

(n+1)nt

+

n(n+1)t

(n+1)(n+2)t

=

n+2

n

+

n

n+2

=2+

2

n

-

2

n+2

，
∴

n

i=1

bi=2n+2(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)，
∴2n＜

n

i=1

bi＜2n+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“累乘求積”、等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”、不等式、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．