Question

如圖點F為雙曲線C的左焦點，左準線l交x軸于點Q，點P是l上的一點|PQ|=|FQ|=1，且線段PF的中點M在雙曲線C的左支上．
（1）求雙曲線C的標準方程；
（2）若過點F的直線m與雙曲線C的左右兩支分別交于A、B兩點，設(shè)，當λ∈[6，+∞）時，求直線m的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），則c²=a²+b²，由此能求出雙曲線方程．（2）F（-2，0），設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），由，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁，由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．由此能求出直線m的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)雙曲線方程為（a＞0，b＞0），
則c²=a²+b²，，∴b²=c．------------------------（2分）
又在雙曲線上，∴．
聯(lián)立①②③，解得，c=2．∴雙曲線方程為x²-y²=2．--------（4分）
注：對點M用第二定義，得，可簡化計算．
（Ⅱ）F（-2，0），設(shè)A（x₁，y₂），B（x₂，y₂），m：y=k（x+2），則
由，得x₂=λ（x₁+2）-2，y₂=λy₁．--------------------（6分）
由，得（1-k²）y²-4ky+2k²=0．
∴，．△=16k²-8k²（1-k²）=8k²（1+k²）．
由y₂=λy₁，，，---------------------（8分）
消去y₁，y₂，
得．------------------------（9分）
∵λ≥6，函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴，∴．------------------------（10分）
又直線m與雙曲線的兩支相交，即方程（1-k²）y²-4ky+2k²=0兩根同號，
∴k²＜1．------------------------------------------------（11分）
∴，故．------------------------（12分）
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．