Question

已知f（x）=

1-x

ax

+lnx（a為正實數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，x）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）當a=1時，求函數(shù)f（x）在[

1

e

，e]上的最大值與最小值；
（3）當a=1時，求證：對于大于1的任意正整數(shù)n，都有l(wèi)nn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意可得f′（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，解得即可；
（2）利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求得最值；
（3）由（1）知：f（x）

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，可得lnx≥

x-1

x

，n≥2時，令x=

n

n-1

，即ln

n

n-1

＞

1

n

，即可得證．

解答： 解：（1）由已知：f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0），依題意得：

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0，x∈[1，+∞）恒成立
又a為正實數(shù)∴a-1≥0，即：a≥1
（2）∵a=1∴f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）

x-1

x2

，
x∈（

1

e

，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（

1

e

，1）上單調(diào)減，
x∈（1，e）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，e）上單調(diào)增，
f（

1

e

）=e-2，f（1）=0，f（e）=

1

e

，
又f（

1

e

）＞f（e）
所以f（x）在[

1

e

，e]上的最大值為f（

1

e

）=e-2與最小值為f（1）=0
（3）∵a=1∴由（1）知：f（x）

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴對任意x≥1時，f（x）≥f（1）=0，
∴l(xiāng)nx≥

x-1

x

∴n≥2時，令x=

n

n-1

，即ln

n

n-1

＞

1

n

lnn=ln

n

n-1

+ln

n-1

n-2

+…+ln

3

2

+ln

2

1

＞

1

n

+

1

n-1

+…+

1

3

+

1

2

即n≥2時，lnn＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n

點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等知識，考查不等式的證明的轉(zhuǎn)化思想的運用能力及運算求解能力，屬于難題．