Question

6．已知正四棱錐P-ABCD的各頂點在同一個球O的球面上，且該棱錐的體積為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，底面邊長為$\sqrt{3}$，則球O的表面積為8π．

Answer 1

分析 正四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上，則其外接球的球心在它的高PO₁上，記為O，如圖．求出AO₁，OO₁，解出球的半徑，求出球的表面積．

解答 解：∵棱錐的體積為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，底面邊長為$\sqrt{3}$，
∴高h=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記為O，PO=AO=R，PO₁=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，OO₁=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$-R，
在Rt△AO₁O中，AO₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由勾股定理R²=3+（$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$-R）²得R=$\sqrt{2}$，
∴球的表面積S=8π
故答案為：8π．

點評 本題考查球的表面積，球的內接體問題，解答關鍵是確定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半徑．需具有良好空間形象能力、計算能力．