Question

3．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M在B₁C上，點(diǎn)N在BD上，并且MN∥平面AA₁B₁B，求證：CM=DN．

Answer 1

分析 過M作MM₁⊥BB₁，過N作NN₁⊥AB，由于MN‖平面AA₁B₁B，可得MM₁=NN₁，通過證明三角形B₁MM₁和三角形BNN₁全等，從而可證B₁M=BN，結(jié)合B₁C=BD，即可證明故CM=DN．

解答 證明：過M作MM₁⊥BB₁，過N作NN₁⊥AB，
易證得MM₁⊥面ABB₁A₁，NN₁⊥面ABB₁A₁，
故MM₁為M到面ABB₁A₁的距離，NN₁為N到面ABB₁A₁的距離，
又由于MN‖平面AA₁B₁B，
所以可知MM₁=NN₁，
三角形B₁MM₁和三角形BNN₁都是直角三角形，∠ABD=∠BB₁C=45°，MM₁=NN₁，
故兩三角形全等，
從而B₁M=BN，
而B₁C=BD，
故CM=DN．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．