Question

10．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若關(guān)于x的方程，f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因?yàn)楹瘮?shù)在x=0處取極值，所以f'（0）=0求出a即可；
（2）把a(bǔ)=1代入求得f（x）的解析式，把f（x）代入方程中得ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b=0．然后令φ（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b，求出導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的增減性，得到b的取值范圍；
（3）證明ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．對(duì)任意正整數(shù)n，取x=$\frac{1}{n}$得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，故ln$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：由題意，f′（x）=$\frac{1}{x+a}$-2x-1，
∵x=0時(shí)，f（x）取得極值，
∴f'（0）=0，
故$\frac{1}{0+a}$-1=0，解得a=1．經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意；--------------（3分）
（2）解：由a=1知f（x）=ln（x+1）-x²-x，
由f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b可得ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b=0
令φ（x）=ln（x+1）-x²+$\frac{3}{2}$x-b
則f（x）=-$\frac{5}{2}$x+b在[0，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
等價(jià)于φ（x）=0在[0，2]上恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根．
φ′（x）=$\frac{-（4x+5）（x-1）}{2（x+1）}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，于是φ（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，φ'（x）＜0，于是φ（x）在[1，2]上單調(diào)遞減；
依題意有φ（0）≤0，φ（1）＞0，φ（2）≤0
∴l(xiāng)n3-1≤b＜ln2+$\frac{1}{2}$；
（3）證明：f（x）=ln（x+1）-x²-x的定義域?yàn)閧x|x＞-1}，
由（1）知f′（x）=$\frac{-x（2x+3）}{x+1}$，
令f′（x）=0得，x=0或x=-$\frac{3}{2}$（舍去）
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
∴f（0）為f（x）在（-1，+∞）上的最大值．---------------（10分）
∴f（x）≤f（0），
故ln（x+1）-x²-x≤0（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．
對(duì)任意正整數(shù)n，取x=$\frac{1}{n}$得，ln（$\frac{1}{n}$+1）＜$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{{n}^{2}}$，
故ln$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{n+1}{{n}^{2}}$
∵$\frac{n+1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n-1}$（n≥2），
∴l(xiāng)n$（\frac{n+1}{n}）$＜$\frac{1}{n-1}$（n≥2），
則ln$\frac{3}{2}$+ln$\frac{4}{3}$+…+ln$\frac{n+2}{n+1}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$
即ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$，當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
因此對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln$\frac{n+2}{2}$＜$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$都成立．---------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，注意函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，以及會(huì)進(jìn)行不等式的證明．