【題目】如圖, 直線與拋物線交于兩點, 線段的垂直平分線與直線交于點.

（1）求點的坐標；

（2）當P為拋物線上位于線段下方（含）的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點A，B的坐標，則AB中點M的坐標可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標．
（2）設出P的坐標，利用P到直線OQ的距離求得三角形的高，利用兩點間的距離公式求得OQ的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．

解：(1) 解方程組得或

即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).

由,

直線的垂直平分線方程

令, 得, ∴

(2)直線OQ的方程為x+y=0, 設

∵點P到直線OQ的距離d==,,

∴=.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

∴當x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設，由題意可得，即，又由條件得，構造，令，則，利用導數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調(diào)遞增，

當時，，即在上單調(diào)遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲�、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時常采取構造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進行證明．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校在學年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動，投票規(guī)則是一人一票，高一（1）班44名學生和高一（7）班45名學生的投票結果如下表（無廢票）：

語文

數(shù)學

外語

物理

化學

生物

政治

歷史

地理

高一（1）班

6

9

7

5

4

5

3

3

2

高一（7）班

6

4

5

6

5

2

3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本，把兩個班同一學科的得票之和定義為該年級該學科的“好感指數(shù)”.

（Ⅰ）如果數(shù)學學科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高，求的所有取值；

（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學生中任意選取位同學，設隨機變量為投票給地理學科的人數(shù)，求的分布列和期望；

（Ⅲ）當為何值時，高一年級的語文、數(shù)學、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?（結論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】新高考最大的特點就是取消文理分科，除語文、數(shù)學、外語之外，從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機構為了了解學生對全文（選擇政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關，從某學校高一年級的1000名學生中隨機抽取男生，女生各人進行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計，選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人．

（1）估計在男生中，選擇全文的概率.

（2）請完成下面的列聯(lián)表；并估計有多大把握認為選擇全文與性別有關，并說明理由；

附：，其中．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列結論：

①“且為真”是“或為真”的充分不必要條件：②“且為假”是“或為真”的充分不必要條件；③“或為真”是“非為假”的必要不充分條件；④“非為真”是“且為假”的必要不充分條件.

其中，正確的結論是__________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)對它們一一取出（不放回）進行檢測，直至取出所有次品為止．

（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)有多少？

（2）若恰在第6次取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】[選修4―4：坐標系與參數(shù)方程]

在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為.設l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C．

（1）寫出C的普通方程；

（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設l3：ρ(cosθ+sinθ) =0，M為l3與C的交點，求M的極徑.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長均為2， ， 分別為和的中點．

（1）證明： 平面；

（2）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，的坐標分別為，．直線，相交于點，且它們的斜率之積是．記點的軌跡為．

（Ⅰ）求的方程．

（Ⅱ）已知直線，分別交直線于點，，軌跡在點處的切線與線段交于點，求的值．

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