Question

6．已知log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥-log₂（3x-2），求y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$的值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 根據(jù)對(duì)數(shù)不等式先求出x的取值范圍，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)．利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}＞0}\\{3x-2＞0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x≠0}\\{x＞\frac{2}{3}}\end{array}\right.$即x＞$\frac{2}{3}$，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?\frac{2}{3}$，+∞），
由log${\;}_{\frac{1}{2}}$x²≥-log₂（3x-2），得-log₂x²≥-log₂（3x-2），
即log₂x²≤log₂（3x-2），
即x²≤3x-2，
則x²-3x+2≤0，
解得1≤x≤2，
則y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$=（log₂x-log₂4）（log₂x-log₂2）=（log₂x-2）（log₂x-1），
令t=log₂x，1≤x≤2
則0≤t≤1，
則函數(shù)等價(jià)為y=（t-2）（t-1）=t²-3t+2=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=0時(shí)，y=2，當(dāng)t=1時(shí)，y=1-3+2=0，
即0≤y≤2．即函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]．
∵當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)t=log₂x為增函數(shù)，此時(shí)函數(shù)y=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$為減函數(shù)，
∴函數(shù)y=log₂$\frac{x}{4}$•log₂$\frac{x}{2}$在[1，2]上為減函數(shù)，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．