Question

17．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠F₁PF₂的最小值為$\frac{3}{5}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)（-2，0）的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，求$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∠F₁PF₂最大時(shí)余弦值為$\frac{3}{5}$，此時(shí)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)處點(diǎn)處，$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}=\frac{3}{5}$，解出a，b即可；
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my-2，
與橢圓C的方程聯(lián)立得（4m²+5）-16my-4=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=$\frac{16m}{4{m}^{2}+5}$，y₁y₂=$\frac{-4}{4{m}^{2}+5}$
 $\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-3）（my₂-3）=（m²+1）y₁y₂-3m（y₁+y₂）=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+5}-\frac{48{m}^{2}}{4{m}^{2}+5}+9$ 
當(dāng)l與x軸重合時(shí)，M，N即為橢圓左右頂點(diǎn)，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=-（a+c）（a-c）

解答 解：（Ⅰ）∵過F₂且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{2^{2}}{a}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，
∵點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且cos∠F₁PF₂的最小值為$\frac{3}{5}$．即∠F₁PF₂最大時(shí)余弦值為$\frac{3}{5}$，此時(shí)點(diǎn)P在上頂點(diǎn)處，∴$\frac{2{a}^{2}-4{c}^{2}}{2{a}^{2}}=\frac{3}{5}$，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2，c-1
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)其方程為x=my-2，
與橢圓C的方程聯(lián)立得（4m²+5）-16my-4=0，…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）則y₁+y₂=$\frac{16m}{4{m}^{2}+5}$，y₁y₂=$\frac{-4}{4{m}^{2}+5}$
 $\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=（my₁-3）（my₂-3）=（m²+1）y₁y₂-3m（y₁+y₂）=$\frac{-4（{m}^{2}+1）}{4{m}^{2}+5}-\frac{48{m}^{2}}{4{m}^{2}+5}+9$
=-4+$\frac{61}{4{m}^{2}+5}$$∈（-4，\frac{41}{5}]$…（10分）
當(dāng)l與x軸重合時(shí)，M，N即為橢圓左右頂點(diǎn)，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=-（a+c）（a-c）=-4；
綜上，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$的取值范圍：[-4，$\frac{41}{5}$]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題以向量為載體，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量的數(shù)量積，考查運(yùn)算能力，解題時(shí)應(yīng)注意分類討論，同時(shí)正確用坐標(biāo)表示向量，是中檔題