Question

10．設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的有①③④（填上正確命題的序號(hào)）
①若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，則O為△ABC的垂心；
②若$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\overrightarrow{|OC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，則點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心；
③若O在△ABC內(nèi)部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，則$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$；
④若O在△ABC內(nèi)部，且$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則S_△ABO：S_△BCO：S_△ACO=3：1；2．

Answer 1

分析 ①將已知向量等式變形，利用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再利用向量垂直的充要條件判斷出兩個(gè)向量垂直得到兩條線(xiàn)垂直，判斷出O為垂心．
②根據(jù)向量的減法，利用數(shù)量積運(yùn)算和題意代入式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，證出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即證出O是△ABC的垂心．
③取BC的中點(diǎn)O，若O在△ABC內(nèi)部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，OD=$\frac{5}{3}$AD，可得$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$；
④延長(zhǎng)OB到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分別以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$為鄰邊作平行四邊形OAFE，則$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$，利用$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，可得$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$，從而可得S_△ABC=2S_△AOB．同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．

解答 解：①若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OA}$，則（$\overrightarrow{OA}$-$\overrightarrow{OC}$）•$\overrightarrow{OB}$=0，∴$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴CA⊥OB，同理OA⊥BC，∴O是△ABC的垂心，正確；
②設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$．
由題可知，$|\overrightarrow{OA}{|}^{2}+|\overrightarrow{BC}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{OB}{|}^{2}+|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\overrightarrow{|OC}{|}^{2}+|\overrightarrow{AB}{|}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$|²，化簡(jiǎn)可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，即（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）•$\overrightarrow{c}$=0，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AB}=0$，∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，即OC⊥AB．同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．∴O是△ABC的垂心，不正確；
③取BC的中點(diǎn)O，若O在△ABC內(nèi)部，且3$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，OD=$\frac{5}{3}$AD，則$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△OBC}}$=$\frac{5}{3}$，正確；
④延長(zhǎng)OB到點(diǎn)E，使得$\overrightarrow{OE}$=2$\overrightarrow{OB}$，分別以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OE}$為鄰邊作平行四邊形OAFE．
則$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$，
∵$\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OF}$=3$\overrightarrow{OC}$．
又$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{DF}$=2$\overrightarrow{OD}$．∴$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{OD}$，∴S_△ABC=2S_△AOB．
同理可得：S_△ABC=3S_△AOC，S_△ABC=6S_△BOC．
∴S_△ABO：S_△BCO：S_△ACO=3：1；2
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量在幾何中應(yīng)用，主要利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算以及數(shù)量積進(jìn)行化簡(jiǎn)證明，特別證明垂直主要根據(jù)題意構(gòu)造向量利用數(shù)量積為零進(jìn)行證明．