Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a_n≠0，a_n•a_n+1=4S_n-1
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將n換為n-1，兩式相減可得a_n+1-a_n-1=4，由{a_n}為等差數(shù)列，可得公差d=a_n-a_n-1=2，再求首項可得1，運用等差數(shù)列的通項公式即可得到所求通項；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，結合不等式的性質，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）a_n•a_n+1=4S_n-1，
將n換為n-1，可得a_n-1•a_n=4S_n-1-1，
兩式相減可得，a_n（a_n+1-a_n-1）=4a_n，
由a_n≠0，可得a_n+1-a_n-1=4，
{a_n}為等差數(shù)列，可得（a_n+1-a_n）+（a_n-a_n-1）=4，
即有公差d=a_n-a_n-1=2，
當n=1時，a₁•a₂=4S₁-1，即為a₁（a₁+2）=4a₁-1，
解得a₁=1，可得數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=a₁+（n-1）d
=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）證明：b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有前n項和為T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
故原不等式成立．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用下標變換相減法，考查等差數(shù)列的通項公式的運用，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．