Question

6．已知{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題設(shè)知公差d≠0，由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，可得${a}_{3}^{2}$=a₁•a₉，即（1+2d）²=1×（1+8d），解出即可得出．
（II）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 （Ⅰ）解：由題設(shè)知公差d≠0，由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，∴${a}_{3}^{2}$=a₁•a₉，∴（1+2d）²=1×（1+8d），化為：4d²=4d，
解得d=1，d=0（舍去），故{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．
（II）證明：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…\frac{1}{n（n+1）}=1-\frac{1}{n+1}＜1$．

點(diǎn)評 本題考查了“裂項(xiàng)求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．