Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^ax，g（x）=-x²+bx+c（a，b，c∈R），且曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（0，c）處具有公共切線．設(shè)h（x）=f（x）-g（x）．
（Ⅰ）求c的值，及a，b的關(guān)系式；
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)a≥0，若對(duì)于任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|h（x₁）-h（x₂）|≤e-1，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別求得f（x）和g（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=f（0）}\\{f′（0）=g′（0）}\end{array}\right.$即可求得c的值及a、b的關(guān)系；
（Ⅱ）寫出h（x）的表達(dá)式，求導(dǎo)，構(gòu)造輔助函數(shù)F（x）=h′（x），由?a∈R，F(xiàn)′（x）＞0，即可判斷h′（x）的單調(diào)性，求得h′（x）的零點(diǎn)，并根據(jù)h′（x）判斷出h（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（II）知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）是增函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為：h（x）_max-h（x）_min=e^a-a≤e-1，即當(dāng)a≥0時(shí)，G（a）=e^a-a-（e-1）≤0，求得函數(shù)的單調(diào)性，求得a的取值范圍．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）=e^ax，g（x）=-x²+bx+c，
∴函數(shù)f′（x）=ae^ax，g′（x）=-2x+b．
曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（0，c）處具有公共切線，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=f（0）}\\{f′（0）=g′（0）}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{a=b}\end{array}\right.$，
∴c=1，a=b；…（4分）
（II）由已知，h（x）=f（x）-g（x）=e^ax+x²-ax-1．
∴h′（x）=ae^ax+2x-a，
設(shè)F（x）=ae^ax+2x-a，所以F′（x）=a²e^ax+2，
?a∈R，F(xiàn)′（x）＞0，所以h′（x）在（-∞，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)．…（6分）
由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）-g′（0）=0，即0是h′（x）的零點(diǎn)．
所以，函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)h′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)0．…（7分）
所以h′（x）及h（x）符號(hào)變化如下，

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h（x）	-	0	+
h′（x）	↘	極小值	↗

所以函數(shù)h′（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．…（9分）
（III）由（II）知當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）是增函數(shù)．
對(duì)于任意x₁，x₂∈[0，1]，都有|h（x₁）-h（x₂）|≤e-1，等價(jià)于h（x）_max-h（x）_min=h（1）-h（0）=e^a-a≤e-1，
等價(jià)于當(dāng)a≥0時(shí)，G（a）=e^a-a-（e-1）≤0，
∵G′（a）=e^a-1≥0，
∴G（a）在[0，+∞）上是增函數(shù)，
又G（1）=0，所以a∈[0，1]．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了計(jì)算能力和分析問題的能力，屬于難題．