Question

已知二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A，B（x_A＜x_B），與y軸交于點(diǎn)C，△ABC的外接圓的圓心為M（1，-1），斜率為3的直線l與⊙M交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足ME⊥MF．
（1）求點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)及⊙M的半徑R的值；
（2）求直線l的方程；
（3）設(shè)P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A，C在l的同側(cè)，求||PA|-|PC||的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓與圓錐曲線的綜合,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：直線與圓

分析：直接在函數(shù)解析式中取y=0求得A，B的坐標(biāo)，取x=0求得C的坐標(biāo)，結(jié)合給出的圓心坐標(biāo)求得圓的半徑；
（2）由（1）知圓的方程，設(shè)出直線l為y=3x+b，和圓的方程聯(lián)立后利用根與系數(shù)關(guān)系求得直線與圓兩交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積，結(jié)合ME⊥MF列式求得b，則直線方程可求；
（3）由點(diǎn)A，C在l的同側(cè)可得l的方程為3x-y-2-

19

=0．連接AC并延長(zhǎng)交l與D，則D點(diǎn)為所求滿足條件的點(diǎn)，求出AC的方程后和已知直線方程聯(lián)立求得||PA|-|PC||的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）在y=x²-2x-3中，取y=0，得x²-2x-3=0，解得：x_A=-1，x_B=3，
取x=0，解得y_C=-3，
∴點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）；
又圓心為M（1，-1），∴⊙M的半徑R=|MA|=

22+(-1)2

=

5

；
（2）由（1）知圓的方程為（x-1）²+（y+1）²=5，
設(shè)直線l為y=3x+b，E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
聯(lián)立

y=3x+b (x-1)2+(y+1)2=5

，得10x²+（6b+4）x+b²+2b-3=0．
△=（6b+4）²-40（b²+2b-3）=-4b²-32b+136＞0，即b²+8b-34＜0．
x1+x2=-

3b+2

5

，x1x2=

b2+2b-3

10

，
y1y2=(3x1+b)(3x2+b)=9x1x2+3b(x1+x2)+b2
=

9b2+18b-27

10

-

9b2+6b

5

+b2=

b2+6b-27

10

．
∵M(jìn)E⊥MF，
∴x1x2+y1y2=

2b2+8b-30

10

=0，即b=-2±

19

．
∴直線l的方程為y=3x-2-

19

或y=3x-2+

19

；
（3）∵點(diǎn)A，C在l的同側(cè)，∴l(xiāng)的方程為3x-y-2-

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=0．
連接AC并延長(zhǎng)交l與P，則P點(diǎn)為所求滿足條件的點(diǎn)，
此時(shí)AC方程為3x+y+3=0，
聯(lián)立

3x-y-2- 19 =0 3x+y+3=0

，解得

x= 19 -1 3 y=- 19 -2

．
∴使||PA|-|PC||取得最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

19 -1

3

，-

19

-2），
最大值為|AC|=

(-1)2+(-3)2

=

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的方程的求法，考查了直線和圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了直線上的動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線距離差的絕對(duì)值的最大值的求法，考查了計(jì)算能力，是中檔題．