Question

已知函數(shù)f（x）=2x 2+

1

2

，g(x)=lnx+b
（1）當(dāng)b=0時，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的最值．
（2）若b是正整數(shù)，且g（x）≤ax≤f（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，試求b的值及a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）b=0時求出h（x），h′（x），根據(jù)單調(diào)性可求得函數(shù)的最小值；
（2）由題意知g（x）≤f（x）恒成立，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值，由（1）易求b值，對g（x）≤ax≤f（x）恒成立可分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)可得兩函數(shù)最值；

解答： 解：（1）當(dāng)b=0時，h（x）=2x2+

1

2

-lnx，
h′（x）=4x-

1

x

=

(2x+1)(2x-1)

x

（x＞0），
令h′（x）=0，得x=

1

2

，或x=-

1

2

（舍去），
當(dāng)0＜x＜

1

2

時，h′（x）＜0，此時函數(shù)h（x）在（0，

1

2

）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞

1

2

時，h′（x）＞0，此時函數(shù)h（x）在（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=

1

2

時，h（x）有極小值h（

1

2

）=1+ln2，
∴h（x）的最小值為1+ln2；
（2）∵g（x）≤ax≤f（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）≤f（x）對任意x∈（0，+∞），即b≤2x2+

1

2

-lnx，
由（1）知，h（x）=2x2+

1

2

-lnx，當(dāng)x=

1

2

時有極小值，也是最小值，
∴b≤1+ln2，
∵b是正整數(shù)，且1+ln2∈（1，2），∴b=1，
又g（x）≤ax≤f（x），即

lnx+1

x

≤a≤2x+

1

2x

，
∵2x+

1

2x

≥2，∴a≤2，
設(shè)φ（x）=

lnx+1

x

，則φ′（x）=-

lnx

x2

，令φ′（x）=0，得x=1，
當(dāng)0＜x＜1時，φ′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，φ′（x）＜0，
則當(dāng)x=1時，φ（x）有極大值，也是最大值為1，
∴a≥1，∴1≤a≤2，
綜上所述，b=1，1≤a≤2．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．