Question

8．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，不等式${x^2}cosC+2xsinC+\frac{3}{2}≥0$對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立．
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當(dāng)∠C取最大值，且△ABC的周長(zhǎng)為9時(shí)，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時(shí)△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）由已知條件及二次函數(shù)的性質(zhì)得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值． 
（2）根據(jù)角C的范圍可得當(dāng)∠C取最大值時(shí)∠C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理和基本不等式求得ab≤9，從而得到△ABC面積的最大值，根據(jù)不等式中等號(hào)成立條件判斷△ABC的形狀．

解答 解：（1）當(dāng)cosC=0時(shí)，sinC=1，
原不等式即為$2x+\frac{3}{2}≥0$對(duì)一切實(shí)數(shù)x不恒成立，
當(dāng)cosC≠0時(shí)，應(yīng)有$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\△=4{sin^2}C-6cosC≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\ 2{cos^2}C+3cosC-2≥0\end{array}\right.$，
解得$cosC≥\frac{1}{2}$或cosC≤-2（舍去），
∵0＜C＜π，
∴$\frac{1}{2}≤cosC＜1$．
（2）∵0＜C＜π，$\frac{1}{2}≤cosC＜1$，
∴∠C的最大值為$\frac{π}{3}$．
此時(shí)$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}}=\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}$，
∴$9=a+b+c=a+b+\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}≥2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab-ab}=3\sqrt{ab}$，
∴ab≤9（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
此時(shí)，△ABC面積的最大值為$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，求出角C的最大值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．