Question

【題目】已知函數f（x）=ax3﹣x2+4x+3，若在區(qū)間[﹣2，1]上，f（x）≥0恒成立，則a的取值范圍是（ ）
A.[﹣6，﹣2]
B.
C.[﹣5，﹣3]
D.[﹣4，﹣3]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：解：當x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈R恒成立； 當0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥ ，
令f（x）= ﹣ ，則f′（x）=﹣ + =﹣ （*），
當0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
當﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤ ﹣ ，
由（*）式可知，當﹣2≤x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，
當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
綜上所述，實數a的取值范圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數a的取值范圍是[﹣6，﹣2]．
所以答案是：[﹣6，﹣2]．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數單調性的判斷方法和函數的最值及其幾何意義的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲�；利用圖象求函數的最大（�。┲�；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．