【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),
(1)求a的值;
(2)試判斷f(x)在(﹣∞,+∞)的單調(diào)性,并請你用函數(shù)單調(diào)性的定義給予證明;
(3)若對任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù),

∴f(﹣x)= = =﹣f(x)= ,

∴a×2x+2=a+2x+1

解得a=2.

檢驗:a=2時,f(x)= ,

∴f(﹣x)= = ,

∴f(x)+f(﹣x)=0對x∈R恒成立,即f(x)是奇函數(shù).

∴當(dāng)函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù)時,a的值為2


(2)解:由(1)知 ,f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).

證明如下:

令2x=t,則y= = =﹣ (1﹣ )=﹣ ,

在(﹣∞,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,

∵t=2x在(﹣∞,+∞)上是增函數(shù),∴0<t1<t2,

∴y1﹣y2=(﹣ )﹣(﹣ )= = ,

∵0<t1<t2,∴t2﹣t1>0,t1+1>0,t2+1>0,

∴y1﹣y2>0,

∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù)


(3)解:∵f(x)是奇函數(shù),

∴不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等價于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,

∵f(x)在R上是減函數(shù),

∴對任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,

整理,得:mt2﹣mt+2>0對任意的t∈R恒成立,

當(dāng)m=0時,不等式為2>0恒成立,符合題意;

當(dāng)m≠0時, ,解得0<m<8.

綜上,實數(shù)m的取值范圍為[0,8)


【解析】(1)由奇函數(shù)性質(zhì)得f(﹣x)= =﹣f(x)= ,由此能求出a的值.(2) ,在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).令2x=t,由定義法能證明f(x)在(﹣∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).(3)不等式f(mt2+1)+f(1﹣mt)<0恒成立,等價于不等式f(mt2+1)<f(mt﹣1)恒成立,由f(x)在R上是減函數(shù),得對任意的t∈R,mt2+1>mt﹣1恒成立,由此能求出實數(shù)m的取值范圍.
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調(diào)性的綜合,掌握奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性即可以解答此題.

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A.[﹣6,﹣2]
B.
C.[﹣5,﹣3]
D.[﹣4,﹣3]

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(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上遞減,求實數(shù)b的取值范圍.

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【題目】隨著我國經(jīng)濟的迅速發(fā)展,居民的儲蓄存款逐年增長.設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲蓄存款(年底余額)如表:

年份

2010

2011

2012

2013

2014

時間代號x

1

2

3

4

5

儲蓄存款y (千億元)

5

6

7

8

10

附:回歸方程 中, =
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程
(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)今年的人民幣儲蓄存款.

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(2)作出函數(shù)f(x)的圖象.
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,a+1]上單調(diào),直接寫出實數(shù)a的取值范圍.(不必寫出演算過程)

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【題目】對于0<a<1,給出下列四個不等式(
①loga(1+a)<loga(1+ );
②loga(1+a)<loga(1+ );
③a1+a<a
④a1+a<a
其中成立的是(
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④

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A.0<g(a)<f(b)
B.f(b)<g(a)<0
C.f(b)<0<g(a)
D.g(a)<0<f(b)

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