Question

證明4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數(shù)）．將4換成其他更大的數(shù)試試，說說有什么規(guī)律．（禁用數(shù)學歸納法）

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：設y=

lnx

x

，求出導數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，則當x≥4且為整數(shù)時，有

lnx

x

≤

ln4

4

，化簡整理，即可得證；將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

解答： 證明：設y=

lnx

x

，則y′=

1-lnx

x2

當x＞e時，y′＜0，y為減函數(shù)，當0＜x＜e時，y′＞0，y為增函數(shù)．
則當x≥4且為整數(shù)時，有

lnx

x

≤

ln4

4

，
即有4lnx≤xln4，即lnx⁴≤ln4^x，
即有4^x≥x⁴，
故有4ⁿ≥n⁴（n為大于3的正整數(shù)）．
將4換成其他更大的數(shù)，比如m，則mⁿ≥n^m（n≥m且n∈N）．

點評：本題考查不等式的證明，考查導數(shù)的運用：判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性的應用，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．