Question

在直角坐標系中，已知A（4，0），B（0，2），點E（x，y）在線段AB上．
（1）若

OE

⊥

AB

，證明：E點坐標滿足y=2x；
（2）小題（1）的逆命題是否成立？說明理由；
（3）設

OE

=λ

OA

+μ

OB

（λ、μ∈R），求λ+μ的值．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：（1）由

OE

⊥

AB

，可得

OE

•

AB

=-4x+2y=0，即可得出；
（2）小題（1）的逆命題成立．若E（x，y），y=2x，只要證明

OE

•

AB

=0即可；
（3）由于點E（x，y）在線段AB上，由向量共線定理可得存在實數k使得

AE

=k

AB

，化為

OE

=(1-k)

OA

+k

OB

．與

OE

=λ

OA

+μ

OB

（λ、μ∈R）比較即可得出．

解答： （1）證明：

AB

=（-4，2），∵

OE

⊥

AB

，∴

OE

•

AB

=-4x+2y=0，化為y=2x．
（2）解：小題（1）的逆命題成立．下面給出證明：若E（x，y），y=2x，則

OE

•

AB

=-4x+2y=-2（2x-y）=0，
∴

OE

⊥

AB

．
（3）解：∵點E（x，y）在線段AB上，∴存在實數k使得

AE

=k

AB

，
∴

OE

=

OA

+k(

OB

-

OA

)=(1-k)

OA

+k

OB

．
與

OE

=λ

OA

+μ

OB

（λ、μ∈R）比較可得

λ=1-k μ=k

，
∴λ+μ=1．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、向量共線定理、共面向量基本定理，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．