Question

4．已知函數(shù)f（x）=（mx+1）（lnx-3）．
（1）若m=1，求曲線(xiàn)y=f（x）在x=1的切線(xiàn)方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））滿(mǎn)足lnx₁-lnx₂=3ln（x₁x₂）-8，（x₁≠x₂），判斷是否存在點(diǎn)P （m，0），使得以AB為直徑的圓恰好過(guò)P點(diǎn)，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將m=1代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出f′（1）和f（1）的值，進(jìn)而求出函數(shù)的切線(xiàn)方程；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，設(shè)h（x）=x（lnx-2），通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解出即可；
（3）先表示出向量$\overrightarrow{PA}$和$\overrightarrow{PB}$的坐標(biāo)，得到$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0，從而得到答案．

解答 解：（1）m=1時(shí)，f（x）=（x+1）（lnx-3），
∴f′（x）=（lnx-3）+（x+1）$\frac{1}{x}$，則f′（1）=-1，f（1）=-6，
所以切線(xiàn)方程為：x+y+5=0；
（2）f′（x）=$\frac{mx（lnx-2）+1}{x}$，
若函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，則f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
有mx（lnx-2）+1≥0在（0，+∞）上恒成立，
設(shè)h（x）=x（lnx-2），h′（x）=lnx-1，h（x）在（0，e）是減函數(shù)，在（e，+∞）是增函數(shù)，
所以h（x）的值域?yàn)閇-e，+∞），即mt+1≥0在[-e，+∞）上恒成立．
有$\left\{\begin{array}{l}{m≥0}\\{-em+1≥0}\end{array}\right.$，解得：0≤m≤$\frac{1}{e}$；
（3）依題意得$\overrightarrow{PA}$=（x₁-m，f（x₁）），$\overrightarrow{PB}$=（x₂-m，f（x₂）），
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（x₁-m）（x₂-m）+f（x₁）f（x₂）
=（x₁-m）（x₂-m）+（mx₁+1）（lnx₁-3）（mx₂+1）（lnx₂-3）
=x₁ x₂-m（x₁+x₂）+m²+[m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1][lnx₁lnx₂-3（lnx₁+lnx₂）+9]
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+[m²x₁x₂+m（x₁+x₂）+1]
=（1+m²）（x₁x₂+1）＞0，
∴不存在實(shí)數(shù)m，使得∠APB為直角．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的切線(xiàn)方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，平面向量的運(yùn)算，是一道綜合題．