Question

（選修4-1，幾何證明選講）已知O為△ABC外接圓的圓心，AE是圓的直徑，AD⊥BC，BF⊥AC，D，F(xiàn)為垂足，AD、BF相交于點H，OP⊥AB，垂足為P．
（1）求證：AB•AC=AE•AD；
（2）求證：CH=2OP．

Answer 1

證明：（1）連接BE，
因為AE是直徑，所以AB⊥BE，
又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，
所以Rt△ABE∽Rt△ADC．
∴，∴AB•AC=AE•AD．
（2）連接CE，則CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．
∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H為△ABC的垂心．
CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH
所以四邊形BECH為平行四邊形，∴CH=BE．
∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．
又O為AE的中點．∴OP=BE，∴OP=CH．
∴CH=2OP．
分析：（1）利用AE是直徑，可得AB⊥BE，再利用AD⊥BC，∠AEB=∠ACD即可證明Rt△ABE∽Rt△ADC，進而證得結(jié)論．
（2）先利用CE⊥AC以及BH⊥AC，得BH∥CE，進而得BH⊥AC，AH⊥BC，證得H為△ABC的垂心，再利用CH⊥AB，EB⊥AB得四邊形BECH為平行四邊形?CH=BE，最后利用OP⊥AB，EB⊥AB，得OP∥BE，再利用O為AE的中點即可證明結(jié)論．
點評：一般在證明線段之間的乘積關(guān)系時，其常用方法是利用相似三角形的性質(zhì)來證明．