Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn)，已知AB=2，VA=VB=VC=2．
（1）求證：VO⊥平面ABC；
（2）求二面角V-AC-B的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出VO⊥AB，VO⊥OC，由此能證明VO⊥面ABC．
（2）作VM⊥AC于M，連OM，由已知條件推導(dǎo)出∠VMO為二面角V-AC-B的平面角，由此能求出二面角V-AC-B的平面角的正切值．

解答： （1）證明：∵VA=VB，AO=BO，
∴VO⊥AB，
∵VB=2，OA=OB=1，
∴VO=

VA2-AB2

=

3

，
又∵OC=1，OC²+VO²=VC²，
∴VO⊥OC，
∵AB∩OC=O，
∴VO⊥面ABC．
（2）解：作VM⊥AC于M，
連OM，VO⊥面ABC，VO⊥AC，VM∩VO=V
AC⊥面VOM，AC⊥面OM，
∴∠VMO為二面角V-AC-B的平面角，
又∵OM∥BC，OM=

1

2

BC=

2

2

，
∴tan∠VMO=

VO

OM

=

3

/

2

2

=

6

，
∴二面角V-AC-B的平面角的正切值為

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的平面角的正切值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．