Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段BC₁上一點，且BE=

1

3

BC₁．
（1）求證：GE∥側(cè)面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值；
（3）在直線AG上是否存在點T，使得B₁T⊥AG？若存在，指出點T的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出∠A₁AB=60°，AO⊥底面ABC．以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能證明GE∥側(cè)面AA₁B₁B．
 （2）分別求出平面B₁GE的法向量和底面ABC的一個法向量，由此利用向量法能求出平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值．
（3）由

AG

=(

3

3

，1，0)，設

AT

=λ

AG

=（

3

3

λ，λ，0），

B1T

=

B1A

+

AT

=（

3

3

λ，λ-3，-

3

），利用向量法能求出存在T在AG延長線上，使得B₁T⊥AG．

解答： （1）證明：∵側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，
側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的角，∴∠A₁AB=60°，
又AA₁=AB=2，取AB的中點O，則AO⊥底面ABC．
以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz如圖，
則A（0，-1，0），B（0，1，0），C（

3

，0，0），A1(0，0，

3

)，
B1(0，2，

3

)，C1(

3

，1，

3

)．
∵G為△ABC的重心，∴G（

3

3

，0，0）．
∵

BE

=

1

3

BC1

，∴E（

3

3

，1，

3

3

），
∴

CE

=(0，1，

3

3

)=

1

3

AB1

．又GE不包含于側(cè)面AA₁B₁B，
∴GE∥側(cè)面AA₁B₁B．…（6分）
 （2）解：設平面B₁GE的法向量為

n

=(x，y，z)，
則由

n • B1E =0 n • GE =0

，得

3 3 x-y- 2 3 3 z=0 y+ 3 3 z=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，-1，

3

)，
又底面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

3

7

=

21

7

．
由于θ為銳角，∴sinθ=

1-( 21 7 )2

=

2 7

7

，
∴tanθ=

2 7 7

21 7

=

2 3

3

．
故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為

2 3

3

．
（3）解：

AG

=(

3

3

，1，0)，
設

AT

=λ

AG

=（

3

3

λ，λ，0），

B1T

=

B1A

+

AT

=（

3

3

λ，λ-3，-

3

），
由B₁T⊥AG，∴

B1T

•

AG

=

1

3

λ+λ-3=0，解得λ=

9

4

，
∴存在T在AG延長線上，|AT|=

9

4

|AG|=

3

2

|AF|=

3 3

2

．
∴在直線AG上是存在點T，使得B₁T⊥AG．…（12分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與底面所成的二面角的正切值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．