Question

地震過后，當(dāng)?shù)厝嗣穹e極恢復(fù)生產(chǎn)，焊工王師傅每天都很忙碌．今天他遇到了一個難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為1m，圓心角θ=

π

3

，廠長要求王師傅按圖中所畫的那樣，在鋼板OPQ上裁下一塊平行四邊形鋼板ABOC，要求使裁下鋼板面積最大．試問王師傅如何確定A點位置，才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？

Answer 1

考點：在實際問題中建立三角函數(shù)模型

專題：解三角形

分析：過點B作BM⊥OP于M，則BM=sinα，OM=cosα，建立面積與角α的三角函數(shù)式，然后變形利用三角函數(shù)的公式以及最值求S的最大值．

解答： 解：過點B作BM⊥OP于M，
則BM=sinα，OM=cosα，OA=OM-AM=cosα-

3

3

sinα，設(shè)平行四邊形OABC的面積為S，
則S=OA•BM=（cosα-

3

3

sinα）sinα
=

1

2

sin2α-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

，
因為0＜α＜

π

3

，所以2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

時，S_max=

3

3

-

3

6

=

3

6

；
所以當(dāng)A是

PQ

的中點時，能使裁下的鋼板面積最大，最大面積為

3

6

．

點評：本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)的運用以及倍角公式、三角函數(shù)的最值等知識的綜合應(yīng)用．