20．某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天下午4：00～5：00同時開放健身房和娛樂室，要求所有教工每天必須參加一個活動．據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房．請問，隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)能否趨于穩(wěn)定？

分析 設(shè)第n天去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，得an+bn=150；
根據(jù)題意，推導(dǎo)出an的通項(xiàng)公式，判斷n→+∞時，an是否穩(wěn)定于某一個常數(shù)即可．

解答 解：記第n天去健身房的人數(shù)為an，去娛樂室的人數(shù)為bn，則an+bn=150；
當(dāng)n=1時，則a1=150-b1，
當(dāng)n≥2時，an=（1-10%）an-1+20%bn-1
=（1-10%）an-1+20%（150-an-1）
=30+0.7an-1，
則an-100=0.7（an-1-100），
即$\frac{{a}_{n}-100}{{a}_{n-1}-100}$=0.7；
∴數(shù)列{an-100}是a1-100為首項(xiàng)，以0.7為公比的等比數(shù)列；
∴an-100=（a1-100）•0.7n，
即an=（a1-100）•0.7n+100；
當(dāng)n→+∞時，0.7n→0，
∴（a1-100）•0.7n→0，
∴an→100；
即隨著時間的推移，去健身房的人數(shù)應(yīng)穩(wěn)定于100人左右．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的概念與應(yīng)用問題，也考查了遞推數(shù)列的應(yīng)用問題，考查了數(shù)學(xué)建模能力與邏輯推理能力，是綜合性題目．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

10．若一個函數(shù)存在定義域和值域相同的區(qū)間，則稱這個函數(shù)為這個區(qū)間上的一個“保城函數(shù)”，給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=-x3；
②f（x）=3x；
③f（x）=sin$\frac{πx}{3}$；
④f（x）=2ln3x-3．
其中可以找到一個區(qū)間使其為保城函數(shù)的有（　�。�
A．①②B．①③C．②③D．②④

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow$|=4，（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$）=0，若對每一個確定的$\overrightarrow b$，|$\overrightarrow{c}$|的最大值和最小值分別為m，n，則m-n的值為（　　）
A．隨$|\overrightarrow a|$增大而增大B．隨$|\overrightarrow a|$增大而減小C．是2D．是4

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知公差不為零的等差數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為10，且a2，a3，a7成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求通項(xiàng)公式an；
（Ⅱ）設(shè)bn=$\frac{{a}_{n}+5}{3}$2${\;}^{{a}_{n}+2}$，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

15．代數(shù)式（1-x）（1+x）5的展開式中x3的系數(shù)為0．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x-ln（x-p）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并說明理由；
（Ⅲ）已知數(shù)列{an}滿足：0＜an≤3，n∈N*，且3（a1+a2+…+a2015）=2015．若不等式f（a1）+f（a2）+..+f（a2015）≤g（x）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實(shí)數(shù)p的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

12．如圖程序框圖，若實(shí)數(shù)a的值為5，則輸出k的值為5．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=$\frac{4}{3}$an-$\frac{1}{3}×$2n+1+$\frac{2}{3}$，n∈N*．
（Ⅰ）求證數(shù)列{an+2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；
（Ⅱ）設(shè)T（n）=$\frac{{2}^{n}}{{S}_{n}}$，n∈N*，證明：$\sum_{i=1}^{n}$T（i）＜$\frac{3}{2}$；
（Ⅲ）設(shè)R（n）=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{i}$，n≥2，證明：$\frac{n}{2}$＜R（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$）＜n．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．先做函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，-1≤x≤1}\\{x，1≤x≤3}\\{3，3≤x≤5}\end{array}\right.$的圖象，再求${∫}_{-1}^{5}$f（x）dx．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案