Question

5．已知函數f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，g（x）=x-ln（x-p）．
（Ⅰ）求函數f（x）的圖象在點（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））處的切線方程；
（Ⅱ）判斷函數g（x）的零點個數，并說明理由；
（Ⅲ）已知數列{a_n}滿足：0＜a_n≤3，n∈N^*，且3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015．若不等式f（a₁）+f（a₂）+..+f（a₂₀₁₅）≤g（x）在x∈（p，+∞）時恒成立，求實數p的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，可得切線斜率，即可求函數f（x）的圖象在點（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））處的切線方程；
（Ⅱ）求導數，確定函數g（x）的單調性，再分類討論，即可求出零點個數；
（Ⅲ）證明f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045，由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，即可求實數p的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}-6x+1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，…（1分）
∴f′（$\frac{1}{3}$）=-$\frac{9}{10}$，又f（$\frac{1}{3}$）=3，
∴函數f（x）的圖象在點（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切線方程為y-3=-$\frac{9}{10}$（x-$\frac{1}{3}$），
即y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．…（4分）
（Ⅱ）g′（x）=$\frac{x-p-1}{x-p}$（x＞p）
當x∈（p，p+1）時，g′（x）＜0，∴g（x）在（p，p+1）單調遞減；
當x∈（p+1，+∞）時，g′（x）＞0，∴g（x）在（p+1，+∞）單調遞增；
∴x=p+1時，g_min（x）=g（p+1）=p+1．…（5分）
①當p+1＞0，即p＞-1時，g（x）的零點個數為0；
②當p+1=0，即p=-1時，g（x）的零點個數為1；
③當p+1＜0，即p＜-1時，此時g（p+1）＜0，g（0）=-ln（-p）＞0，x→p，g（x）→+∞
∵g（x）在定義域上連續(xù)，由零點存在定理及g（x）的單調性，
知g（x）在（p，p+1）有且只有一個零點，g（x）在（p+1，+∞）有且只有一個零點，
∴p＜-1時，g（x）的零點個數為2．
綜上所述，當p＜-1時，g（x）的零點個數為2；p=-1時，g（x）的零點個數為1；p＞-1時，g（x）的零點個數為0．…（9分）
（Ⅲ）∵3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）=2015，當a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$時，有f（$\frac{1}{3}$）=3．
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）=2015×f（$\frac{1}{3}$）=6045．…（10分）
接下來證明：f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤6045．
由（I）知，函數f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$，在點（$\frac{1}{3}$，f（$\frac{1}{3}$））的切線方程為y=-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$．
而當0＜x≤3時，f（x）=$\frac{x+3}{{x}^{2}+1}$≤-$\frac{9}{10}$x+$\frac{33}{10}$?（x-3）（x-$\frac{1}{3}$）²≤0成立．
∴當0＜a_n≤3，n∈N^*時，有f（a_n）≤-$\frac{9}{10}$a_n+$\frac{33}{10}$=$\frac{3}{10}$（11-3a_n）．…（12分）
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）≤$\frac{3}{10}$[11×2015-3（a₁+a₂+…+a₂₀₁₅）]=6045
∴當a₁=a₂=…=a₂₀₁₅=$\frac{1}{3}$時，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₅）的最大值為6045．
再由（II）知，g_min（x）=g（p+1）=p+1，∴6045≤p+1得p≥6044．
∴p的最小值為6044．…（14分）

點評 本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查函數的零點、單調性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，難度大．