Question

12．記數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2ⁿ+λ．
（1）若λ=3時，求{a_n}的通項公式；
（2）是否存在常數(shù)λ，使得{a_n}為等比數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把λ=3代入數(shù)列的前n項和，求出首項，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2時的通項公式，驗證后得答案；
（2）由數(shù)列的前n項和求得首項，再由a_n=S_n-S_n-1求出n≥2時的通項公式，由首項適合該通項公式即可求得λ的值．

解答 解：（1）當λ=3時，S_n=2ⁿ+3，
∴a₁=S₁=5；當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+3-{2}^{n-1}-3={2}^{n-1}$．
a₁=5對上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{5，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由S_n=2ⁿ+λ，得a₁=S₁=2+λ；
當n≥2時，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n}+λ-{2}^{n-1}-λ={2}^{n-1}$．
若存在常數(shù)λ，使得{a_n}為等比數(shù)列，則2+λ=2⁰=1，得λ=-1．
故存在實數(shù)λ=-1，使得{a_n}為等比數(shù)列．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．