Question

【題目】若函數(shù)f（x）=ex（x2+ax+b）有極值點(diǎn)x1 ， x2（x1＜x2），且f（x1）=x1 ， 則關(guān)于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根個數(shù)為（ ）
A.0
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】B
【解析】解：函數(shù)f（x）有兩個不相同的極值點(diǎn)， 即f′（x）=ex[x2+（2+a）x+a+b]=0有兩個不相同的實數(shù)根x1 ， x2 ，
也就是方程x2+（2+a）x+a+b=0有兩個不相同的實數(shù)根，
所以△=（2+a）2﹣4（a+b）＞0；
由于方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的判別式△′=△，
故此方程的兩個解為f（x）=x1或f（x）=x2 ．
由于函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x1的交點(diǎn)個數(shù)即為方程f（x）=x1的解的個數(shù)，
函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=x2的交點(diǎn)個數(shù)即為方程f（x）=x2的解的個數(shù)．
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及f（x1）=x1 ，
可知y=f（x）的圖象和直線y=x1的交點(diǎn)個數(shù)為2，
y=f（x）的圖象和直線y=x2的交點(diǎn)個數(shù)為1．
所以f（x）=x1或f（x）=x2共有三個不同的實數(shù)根，
即關(guān)于x的方程f2（x）+（2+a）f（x）+a+b=0的不同實根個數(shù)為3，
故選：B．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．