點P（4，4），圓C：（x-1）2+y2=5與橢圓E：
x2
18
+
y2
2
=1有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓左、右焦點，直線PF1與圓C相切．設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求
AP
•
AQ
的取值范圍．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：分別求出
AP
=(1， 3)，
AQ
=(x-3， y-1)，利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合橢圓方程，即可確定
AP
•
AQ
的取值范圍．
解答： 解：∵A（3，1），P（4，4），
∴
AP
=(1， 3)，
設(shè)Q（x，y），則
AQ
=(x-3， y-1)，
∴
AP
•
AQ
=(x-3)+3(y-1)=x+3y-6．
∵
x2
18
+
y2
2
=1，
即x2+（3y）2=18，而x2+（3y）2≥2|x|•|3y|，
∴-18≤6xy≤18．則（x+3y）2=x2+（3y）2+6xy=18+6xy的取值范圍是[0，36]． 
∴x+3y的取值范圍是[-6，6]，
因此，
AP
•
AQ
的取值范圍是[-12，0]．
點評：本題考查橢圓方程，考查向量的數(shù)量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓方程為
x2
16
+
y2
4
=1，則以點P（2，-1）為中點的弦所在直線方程
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值是（　�。�
A、2B、6C、24D、120

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
2
2
，直線l：y=x+2與原點為圓心，以橢圓C的短軸長為直徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點M（0，2）的直線l1與橢圓C交于G，H兩點．設(shè)直線l1的斜率k＞0，在x軸上是否存在點P（m，0），使得△PGH是以GH為底邊的等腰三角形．如果存在，求出實數(shù)m的取值范圍，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知離心率為
3
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線i交橢圓C于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）記直線MB、MA與x軸的交點分別為P、Q，若MP斜率為k1，MQ斜率為k2，求k1+k2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，F(xiàn)是拋物線E：y2=4x的焦點．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點，求
OP
•
OQ
的值；
（Ⅱ）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點為B(0，
3
)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，離心率e=
1
2
，直線l：y=x+1與橢圓交于M、N兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求弦MN的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知焦點在x軸上的橢圓
x2
8
+
y2
b2
=1（b＞0）有一個內(nèi)含圓x2+y2=
8
3
，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且
OM
⊥
ON
（O為原點）．
（1）求b的值；
（2）設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點A、B．求證：
OA
⊥
OB
，并求|AB|的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+y2=1(a＞1)，
（1）若橢圓C的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：（x-3）2+（y-1）2=3相切，求橢圓C的方程．
（2）若Rt△ABC以A（0，1）為直角頂點，邊AB，BC與橢圓交于兩點B，C，求Rt△ABC面積的最大值．

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同步練習冊答案