Question

已知O為坐標原點，F(xiàn)是拋物線E：y²=4x的焦點．
（Ⅰ）過F作直線l交拋物線E于P，Q兩點，求

OP

•

OQ

的值；
（Ⅱ）過點T（t，0）作兩條互相垂直的直線分別交拋物線E于A，B，C，D四點，且M，N分別為線段AB，CD的中點，求△TMN的面積最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為l：x=ty+1，由

x=ty+1 y2=4x

，得y²-4ty-4=0，由此利用韋達定理和向量的數(shù)量積公式能求出

OP

•

OQ

的值．
（Ⅱ）設(shè)AB：x=my+t，CD：x=-

1

m

y+t，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），分別令直線AB，CD與拋物線E聯(lián)立方程組，求出M點和N點坐標，從而求出|TM|和|TN|，由此利用均值定理能求出△TMN的面積最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線l的方程為l：x=ty+1，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

x=ty+1 y2=4x

，消去x，并整理，得y²-4ty-4=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，
∴x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1=1
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=-3．（4分）
（Ⅱ）根據(jù)題意得AB，CD斜率存在
設(shè)AB：x=my+t，CD：x=-

1

m

y+t，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
由

x=my+t y2=4x

⇒y2-4my-4t=0，
∴

y1+y2

2

=2m⇒

x1+x2

2

=2m2+t⇒M(2m2+t，2m)
同理可得N(

2

m2

+t，-

2

m

)
∴|TN|=

4 m4 + 4 m2

=

2

|m|2

m2+1

，
|TM|=

4m4+4m2

=2|m|

m2+1

∴S△TMN=

1

2

|TM||TN|=2(|m|+

1

|m|

)≥4，
當且僅當|m|=1時，面積取到最小值4．（12分）

點評：本題考查向量數(shù)量積的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時要認真審題，注意均值定理的合理運用．