如圖，已知y=kx（k≠0）與橢圓：
x2
2
+y2=1交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線PA與PQ垂直，且與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為4．
（1）求直線PA與AQ的斜率之積；
（2）若直線AQ與x軸交于點(diǎn)B，求證：PB與x軸垂直．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）設(shè)P（x1，y1），A（x2y2），聯(lián)立
x2+2y2=2
y=kx
，得（2k2+1）x2=2，x2=
2
2k2+1
，設(shè)Q（-x1，-y1），由此能求出直線PA與AQ的斜率之積為-
1
2
．
（2）由kAQ=
y2+y1
x2+x1
=-
1
2k1
，得kAQ=
k
2
，從而直線AQ的方程為y-（-y1）=
k
2
[x-(-x1)]，由此能證明直線PB與x軸垂直．
解答： （1）解：設(shè)P（x1，y1），A（x2y2），
聯(lián)立
x2+2y2=2
y=kx
，得（2k2+1）x2=2，
∴x2=
2
2k2+1
，∴P，Q的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴設(shè)Q（-x1，-y1），
∵直線PQ的斜率為k，且k≠0，
而kPA=
y2-y1
x2-x1
，kAQ=
y2+y1
x2+x1
，
∴kPA•kAQ=
y2-y1
x2-x1
•
y2+y1
x2+x1
，
∵P，A都在橢圓上，∴
x12
2
+y12=1，
x22
2
+y22=1，
∴kPA•kAQ=
y22-y12
x22-x12
=
(1-
x22
2
)-(1-
x12
2
)
x22-x12

=
1
2
(x12-x22)
x22-x12

=-
1
2
，
∴直線PA與AQ的斜率之積為-
1
2
．
（2）證明：∵kAQ=
y2+y1
x2+x1
=-
1
2k1
，而PQ，PA垂直，
∴k1=-
1
k
，∴kAQ=
k
2
，
∴直線AQ的方程為y-（-y1）=
k
2
[x-(-x1)]，
令y=0，得y1=
k
2
(x+x1），
∵點(diǎn)P（x1，y1）直線y=kx上，∴y1=kx1，
代入得到B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0=x1，
∴直線PB與x軸垂直．
點(diǎn)評：本題考查直線PA與AQ的斜率之積的求法，考查PB與x軸垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=（2a-1）x（{a＞0，且a≠
1
2
）的值總大于1，則函數(shù)y=a2x-x2的單調(diào)增區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，|AB|=4，|AD|=3，|AA1|=5，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=60°．
（1）求AC1與AB所成角的余弦值；
（2）求
AC1
在
AB
上的投影．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在R上的函數(shù)f（x）在圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足f（x）=-f（x+
3
2
），f（-1）=1，f（0）=-2，則f（1）+f（2）+…+f（2015）的值
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下命題：
①如果函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；
②若復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1+z2，z1•z2都是實(shí)數(shù)，則z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)；
③連續(xù)函數(shù)f（x）的圖象與直線y=0，x=b（a＜b）所圍成的面積是
∫
b
a
f（x）dx；
④反證法就是通過證明逆命題來證明原命題．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、3B、2C、1D、0

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓C1，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F(-
3
，0)，右頂點(diǎn)為D（2，0），
（1）求該橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)P是橢圓C1上的任意一點(diǎn)過P作x軸的垂線，垂足為E，求PE中點(diǎn)G的軌跡方程C2；
（3）設(shè)點(diǎn)A（1，
1
4
），過原點(diǎn)O的直線交C2于點(diǎn)B，C，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知|
OA
|=1，|
OB
|=
3
，且
AO
⊥
OB
，設(shè)
OC
=m
OA
+n
OB

（1）若C點(diǎn)滿足
AC
=t
CB
，求m+n的值；
（2）若C滿足∠AOC=30°，求
m
n
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且（2a+b）cosC+ccosB=0．
（2）求∠C；
（2）若a、b、c成等差數(shù)列，b=5，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）=
1
2
（cos4x-sin4x）+
3
sinxcosx．
（1）化簡f（x）為f（x）=Asin（wx+φ）的形式；
（2）若
π
2
＜α＜π，
π
4
＜β＜
2π
3
，f（
α
2
）=
1
2
，f（
β
2
-
π
6
）=
3
2
，求sin（α+β）的值．

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同步練習(xí)冊答案