已知數(shù)列單調(diào)遞增,且各項(xiàng)非負(fù),對(duì)于正整數(shù),若任意的,),仍是中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“項(xiàng)可減數(shù)列”.

(1)已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)

列”,試確定的最大值;

(2)求證:若數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,則其前項(xiàng)的和;

(3)已知是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,寫(xiě)出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,

并說(shuō)明理由.

 

【答案】

(1)2 (2).     (3)(2)的逆命題為:已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,若其前項(xiàng)的和滿足,則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.

【解析】(1)根據(jù)題意可知,

易得,即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列”.

(2)因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,

所以必定是數(shù)列中的項(xiàng).

是遞增數(shù)列,故,

所以必有,

是解決本小題的關(guān)鍵.

(3) 的逆命題為:

已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,若其前項(xiàng)的和滿足,

則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.

證明要注意利用,求出的通項(xiàng)公式.

(1)設(shè),則

易得,即數(shù)列一定是“2項(xiàng)可減數(shù)列”,

但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921521154763811/SYS201206192154198758197282_DA.files/image019.png">,所以的最大值為2. ………………5分

(2)因?yàn)閿?shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,

所以必定是數(shù)列中的項(xiàng),  ………………………7分

是遞增數(shù)列,故

所以必有,,

,

所以,即

又由定義知,數(shù)列也是“項(xiàng)可減數(shù)列”,

所以.       ……………………………10分

(3)(2)的逆命題為:

已知數(shù)列為各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,若其前項(xiàng)的和滿足,

則該數(shù)列一定是“項(xiàng)可減數(shù)列”,該逆命題為真命題.……………………12分

理由如下:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921521154763811/SYS201206192154198758197282_DA.files/image015.png">≤,所以當(dāng)時(shí),,

兩式相減,得,即 (

則當(dāng)時(shí),有

由()-(),得

,所以,故數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增等差數(shù)列.

設(shè)公差為,則,

對(duì)于任意的,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921521154763811/SYS201206192154198758197282_DA.files/image052.png">≤,所以仍是中的項(xiàng),

故數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)已知數(shù)列{an}單調(diào)遞增,且各項(xiàng)非負(fù),對(duì)于正整數(shù)K,若任意的i,j(1≤i≤j≤K),aj-ai仍是{an}中的項(xiàng),則稱數(shù)列{an}為“K項(xiàng)可減數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項(xiàng)可減數(shù)列”,試確定K的最大值;
(2)求證:若數(shù)列{an}是“K項(xiàng)可減數(shù)列”,則其前n項(xiàng)的和Sn=
n2
an(n=1,2,…,K)
;
(3)已知{an}是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,寫(xiě)出(2)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列單調(diào)遞增,且各項(xiàng)非負(fù).對(duì)于正整數(shù),若任意的,仍是中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“項(xiàng)可減數(shù)列”.

(Ⅰ)已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,試確定的最大值.

(Ⅱ)求證:若數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,則其前項(xiàng)的和.

(Ⅲ)已知是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,寫(xiě)出(Ⅱ)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(本小題滿分16分)

已知數(shù)列單調(diào)遞增,且各項(xiàng)非負(fù).對(duì)于正整數(shù),若任意的,仍是中的項(xiàng),則稱數(shù)列為“項(xiàng)可減數(shù)列”.

(Ⅰ)已知數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,試確定的最大值.

(Ⅱ)求證:若數(shù)列是“項(xiàng)可減數(shù)列”,則其前項(xiàng)的和.

(Ⅲ)已知是各項(xiàng)非負(fù)的遞增數(shù)列,寫(xiě)出(Ⅱ)的逆命題,判斷該逆命題的真假,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知數(shù)列{an}中,且{an}單調(diào)遞增,則k的取值范圍是( )
A.(-∞,2]
B.(-∞,3)
C.(-∞,2)
D.(-∞,3]

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