【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+x﹣k(x﹣1)在(1,+∞)內(nèi)有唯一零點x0 , 若k∈(n,n+1),n∈Z,則n=

【答案】3
【解析】解:∵f(x)=xlnx+x﹣k(x﹣1),x∈(1,+∞),

∴f′(x)=1+lnx+1﹣k=lnx+2﹣k,

當(dāng)k≤2時,f′(x)>0恒成立,

∴f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,且f(x)>f(1)=1,

∴f(x)在(1,+∞)上沒有零點,

當(dāng)k>2時,令f′(x)>0,解得x>ek﹣2,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,

令f′(x)<0,解得1<x<ek﹣2,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減,

∴f(x)min=f(ek﹣2)=(k﹣2)ek﹣2+ek﹣2﹣kek﹣2+k=﹣ek﹣2+k,

∵f(x)=xlnx+x﹣k(x﹣1)在(1,+∞)內(nèi)有唯一零點x0,

∴f(x0)=f(ek﹣2)=0,

即﹣ek﹣2+k=0,

令g(k)=﹣ek﹣2+k,k>2.

∴g′(k)=﹣ek﹣2<0恒成立,

∴g(k)在(2,+∞)上單調(diào)遞減,

∵g(3)=﹣e+3>0,g(4)=﹣e2+4<0,

∴g(3)g(4)<0,

∴k∈(3,4),

∵k∈(n,n+1),n∈Z,

∴n=3,

所以答案是:3.

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需求量

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5

6

頻率

0.5

0.3

0.2

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需求量

3

4

5

頻率

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0.3

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