Question

（2010•桂林二模）正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的頂點(diǎn)在同一球面上，且任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最大值和最小值分別為2π和

2π

3

，則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為

8

2

或12

．

Answer 1

分析：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長(zhǎng)為1，高AA₁=

2

，它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．則易得球的半徑． 根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑即可．

解答：解：已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，
那么，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為球的直徑，中點(diǎn)O為球心．
設(shè)球的半徑為R，
任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最大值即為正四棱柱對(duì)角線(xiàn)AC₁上兩個(gè)端點(diǎn)之間的球面距離，∴πR=2π，⇒R=2，則球的半徑為2．
正四棱柱對(duì)角線(xiàn)AC₁=4，
由于任意兩個(gè)頂點(diǎn)的球面距離的最小值分別為

2π

3

，
①當(dāng)A、B兩點(diǎn)的球面距離為

2π

3

時(shí)，
根據(jù)球面距離的定義，可得∠AOB=

π

3

；
則AB=R=2，∴BB₁=

4 2-2 2-22

=2

2

，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=2×2×2

2

=8

2

；
②當(dāng)B₁、B兩點(diǎn)的球面距離為

2π

3

時(shí)，
根據(jù)球面距離的定義，可得∠B₁OB=

π

3

；
則B₁B=R=2，∴AB=

2

2

4 2-2 2

=

6

，
則正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V=

6

×

6

×2=12；
故答案為：8

2

或12．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了球內(nèi)接多面體．
（1）涉及到多面體與球相關(guān)的“切”“接”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是抓住球心的位置．球心是球的靈魂．
（2）根據(jù)球面距離的定義，應(yīng)先算出球面兩點(diǎn)對(duì)球心的張角，再乘以球的半徑．這是通性通法．