Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx），$\overrightarrow$=（sinωx，cosωx），若函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-λ的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的最大值和最小值，并求相應(yīng)的x值；
（3）當(dāng)x∈[0，$\frac{3π}{5}$]，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出ω的值，即可計(jì)算函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最值以及對(duì)應(yīng)的x值；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的概念，即可求出λ的取值范圍．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx，2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx），$\overrightarrow$=（sinωx，cosωx），
∴函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-λ
=sin²ωx+（2$\sqrt{3}$sinωx-cosωx）cosωx-λ
=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+sin²ωx-cos²ωx-λ
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-λ
=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ；
由f（x）的圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱，可得sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）=±1，
令2ω•π-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，得ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$，
結(jié)合ω∈（$\frac{1}{2}$，1），可得ω=$\frac{5}{6}$；
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2×\frac{5}{6}}$=$\frac{6π}{5}$；
（2）當(dāng)λ=1時(shí)，f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-1，
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
即-2≤f（x）≤1；
∴f（x）的最大值是1，最小值是-2；
并且x=0時(shí)f（x）取得最小值-2，
x=$\frac{2π}{5}$時(shí)f（x）取得最大值1；
（3）令y=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$），x∈[0，$\frac{3π}{5}$]，
則$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
又函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{5}{3}$x-$\frac{π}{6}$）-λ有兩個(gè)零點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是1≤λ＜2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量的數(shù)量積公式，三角恒等變換，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，是綜合性題目．