Question

15．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a+e-2}{x}$（a≥0）．
（1）若曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)與直線(xiàn)（1-e）x-y+1=0平行，求a的值；
（2）若不等式f（x）≥a對(duì)于x＞0的一切值恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，f'（1）=3-a-e，由題意得3-a-e=1-e，即可求a的值；
（2）將所要證明的式子變形，建立一個(gè)函數(shù)，求導(dǎo)后再建立一個(gè)新的函數(shù)，再求導(dǎo)．需要用到兩次求導(dǎo)．再來(lái)通過(guò)最值確定正負(fù)號(hào)，再來(lái)確實(shí)原函數(shù)的單調(diào)性．

解答 解：（ 1）函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{a+e-2}{x}（a≥0）$的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a+e-2}{x^2}=\frac{x-a-e+2}{x^2}$，…（2分）
f'（1）=3-a-e，由題意得3-a-e=1-e，…（3分）
解得a=2．…（4分）
（2）不等式f（x）≥a對(duì)于x＞0的一切值恒成立，等價(jià)于xlnx+a+e-2-ax≥0對(duì)于x＞0的一切值恒成立．
記g（x）=xlnx+a+e-2-ax（x＞0），則g'（x）=lnx+1-a．…（6分）
令g'（x）=0，得x=e^a-1，當(dāng)x變化時(shí)，g'（x），g（x）的變化情況如下表：

x	（0，ea-1）	ea-1	（ea-1，+∞）
g'（x）	_	0	+
g（x）		極小

∴g（x）的最小值為g（e^a-1）=a+e-2-e^a-1．…（8分）
記h（a）=a+e-2-e^a-1（a≥0），則h'（a）=1-e^a-1，令h'（a）=0，得a=1．
當(dāng)a變化時(shí)，h'（a），h（a）的變化情況如下表：

a	0	（0，1）	1	（1，+∞）
h'（a）		+	0	-
h（a）	$e-2-\frac{1}{e}$	↗	極大值e-2	↘

∴當(dāng)0≤a＜1時(shí)，函數(shù)h（a）在（0，1）上為增函數(shù)，$h（a）≥h（0）=e-2-\frac{1}{e}=\frac{e（e-2）-1}{e}＞0$，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＞0，滿(mǎn)足題意．…（10分）
當(dāng)1≤a≤2時(shí)，函數(shù)h（a）在[1，2]上為減函數(shù)，h（a）≥h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）≥0，滿(mǎn)足題意．
當(dāng)a＞2時(shí)，函數(shù)h（a）在（2，+∞）上為減函數(shù)，h（a）＜h（2）=0，即g（x）在（0，+∞）上的最小值h（a）＜0，不滿(mǎn)足題意．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值．尤其是第二問(wèn)需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后再建立一個(gè)新的函數(shù)求導(dǎo)，這也是一個(gè)常見(jiàn)類(lèi)型．