Question

15．已知正三棱錐的底面邊長為3，高為h，若正三棱錐的側面積與體積的比為4$\sqrt{3}$，則正三棱錐的高為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，作出正三棱錐的高與斜高，求出側面積與體積，結合側面積與體積的比為4$\sqrt{3}$，求得h．

解答 解：如圖，A-BCD為正三棱錐，過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，則AO=h，
∵底面BCD是邊長為3的正三角形，則$OG=\frac{1}{3}CG=\frac{1}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AG=$\sqrt{G{O}^{2}+{h}^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}$，
∴正三棱錐的側面積S=$3×\frac{1}{2}×3×\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}=\frac{9}{2}\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}$，
${V}_{A-BCD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}h=\frac{3\sqrt{3}}{4}h$，
由題意，得$\frac{\frac{9}{2}\sqrt{\frac{3}{4}+{h}^{2}}}{\frac{3\sqrt{3}}{4}h}=4\sqrt{3}$，解得h=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查棱錐的結構特征，考查空間想象能力和思維能力，是基礎題．