Question

14．已知函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+acosx+b，（a，b∈R）且均為常數(shù)）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，0]上單調(diào)遞增，且恰好能夠取到f（x）的最小值2，試求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差化積公式和輔助角公式將已知函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)求其最小正周期；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)圖象的單調(diào)性和正弦函數(shù)的最值的求法進(jìn)行解答．

解答 解：（1）f（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）+sin（x-$\frac{π}{6}$）+acosx+b
=2sinxcos$\frac{π}{6}$+acosx+b=$\sqrt{3}$sinx+acosx+b=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（x+θ）+b，
所以，函數(shù)f（x）的最小正周期為2π．
（2）由（1）可知：f（x）的最小值為-$\sqrt{{a}^{2}+3}$+b，所以，-$\sqrt{{a}^{2}+3}$+b=2．①
另外，由f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，0]上單調(diào)遞增，可知f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，0]上的最小值為f（-$\frac{π}{3}$），
所以，f（-$\frac{π}{3}$）=2，得a+2b=7，②
聯(lián)立①②解得a=-1，b=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．