Question

18．已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-4時，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈（1，e）時，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，進而可得$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，當(dāng)x=e時，取等號
（2）當(dāng)x∈（1，e）時，f（x）≥0恒成立，等價于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，設(shè)g（x）=$-\frac{x^2}{lnx}$，x∈（1，e），利用導(dǎo)數(shù)法，求其最值，進而可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=alnx+x²，
∴$f'（x）=\frac{{2{x^2}-4}}{x}（x＞0）$，
當(dāng)$x∈[1，\sqrt{2}）$時，f′（x）＜0；
當(dāng)$x∈（{\sqrt{2}，e}]$時，f'（x）＞0，
又f（e）-f（1）=-4+e²-1＞0，
故$f{（x）_{max}}=f（e）={e^2}-4$，當(dāng)x=e時，取等號；
（2）當(dāng)x∈（1，e）時，lnx∈（0，1），
f（x）≥0恒成立，等價于a≥-$\frac{{x}^{2}}{lnx}$，
設(shè)g（x）=$-\frac{x^2}{lnx}$，x∈（1，e），
則$g'（x）=-\frac{{2xlnx-{x^2}\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{x（2lnx-1）}{{{{ln}^2}x}}$，
當(dāng)$x∈（{1，\sqrt{e}}）$時，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增，
當(dāng)$x∈（\sqrt{e}，e）$時，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減．
又$g（\sqrt{e}）=-2e$，
所以a≥-2e時，f（x）≥0恒成立．

點評 本題考查的知識點是利用導(dǎo)數(shù)法，求函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，難度中檔．