Question

15．已知函數(shù)f（x），對任意的x∈[1，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，且當x∈[1，2）時，f（x）=2-x．則方程$f（x）=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1，100]上所有根的和為$190\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)所給的性質(zhì)可分別求出不同區(qū)間對應的函數(shù)表達式：當x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹），f（x）=2ⁿ⁺¹-x，在不同區(qū)間分別求$f（x）=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1，100]上的跟即可．

解答 解：當x∈[1，2）時，f（x）=2-x，
設(shè)x∈[2，4）時，則$\frac{x}{2}$∈[1，2），
f（x）=f（2•$\frac{x}{2}$）=2f（$\frac{x}{2}$）=4-x，同理可得當x∈[2ⁿ，2ⁿ⁺¹），f（x）=2ⁿ⁺¹-x，
∴則方程$f（x）=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1，100]上所有根分別為：
$\frac{3}{2}$，3，6，12，24，48，96，
∴所有根的和為 $190\frac{1}{2}$．

點評 考查了新定義類型函數(shù)的應用，難點是對題意的分析．