15.已知函數(shù)f(x),對(duì)任意的x∈[1,+∞),恒有f(2x)=2f(x)成立,且當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=2-x.則方程$f(x)=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1,100]上所有根的和為$190\frac{1}{2}$.

分析 根據(jù)函數(shù)所給的性質(zhì)可分別求出不同區(qū)間對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式:當(dāng)x∈[2n,2n+1),f(x)=2n+1-x,在不同區(qū)間分別求$f(x)=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1,100]上的跟即可.

解答 解:當(dāng)x∈[1,2)時(shí),f(x)=2-x,
設(shè)x∈[2,4)時(shí),則$\frac{x}{2}$∈[1,2),
f(x)=f(2•$\frac{x}{2}$)=2f($\frac{x}{2}$)=4-x,同理可得當(dāng)x∈[2n,2n+1),f(x)=2n+1-x,
∴則方程$f(x)=\frac{1}{3}x$在區(qū)間[1,100]上所有根分別為:
$\frac{3}{2}$,3,6,12,24,48,96,
∴所有根的和為 $190\frac{1}{2}$.

點(diǎn)評(píng) 考查了新定義類型函數(shù)的應(yīng)用,難點(diǎn)是對(duì)題意的分析.

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20.對(duì)于數(shù)列{an},稱$P({a_k})=\frac{1}{k-1}(|{{a_1}-{a_2}}|+|{{a_2}-{a_3}}|+…+|{{a_{k-1}}-{a_k}}|)$(其中k≥2,k∈N)為數(shù)列{an}的前k項(xiàng)“波動(dòng)均值”.若對(duì)任意的k≥2,k∈N,都有P(ak+1)<P(ak),則稱數(shù)列{an}為“趨穩(wěn)數(shù)列”.
(1)若數(shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求x的取值范圍;
(2)若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的公比q∈(0,1),求證:{bn}是“趨穩(wěn)數(shù)列”;
(3)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,各項(xiàng)均為整數(shù),前k項(xiàng)的和為Sk.且對(duì)任意k≥2,k∈N,都有3P(Sk)=2P(ak),試計(jì)算:$C_n^2P({a_2})+2C_n^3P({a_3})+…+(n-1)C_n^nP({a_n})$(n≥2,n∈N).

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